學科能力競賽 112學年度 複賽 新北市 筆試(二)
第一題#
試問函數 $f(x) = \dfrac{\sin 2x + \sin 3x}{\cos 2x + \cos 3x}$ 的最小週期為 ＿＿＿（一）＿＿＿。
第二題#
滿足 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2023}$ 的正整數數對 $(x, y)$ 共有 ＿＿＿（二）＿＿＿ 組。
（註：當 $\alpha \neq \beta$，$(\alpha, \beta)$ 與 $(\beta, \alpha)$ 視為不同的整數數對。）
第三題#
半徑為 1 公分的球面上有兩點 $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$B\left(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，其球心位於原點。沿著球面從 $A$ 點到 $B$ 點的最短路徑長為 ＿＿＿（三）＿＿＿ 公分。
第四題#
已知點 $A$ 在單位圓 $O$ 上，線段 $BC$ 在圓 $O$ 外，$D$ 為線段 $AC$ 的中點。若 $\overline{BC} = 3$，$\overline{OB} = \overline{OC} = 4$，則 $\overline{BD}$ 的最小值為 ＿＿＿（四）＿＿＿。
第五題#
令 $n$ 為正整數，$f(n)$ 表示 $n$ 的最大正奇因數，例如：
$$f(2) = 1,\ f(3) = 3,\ f(6) = 3.$$試求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{2^{2023}} f(n)$ 之值為 ＿＿＿（五）＿＿＿。
第六題#
數列 $\langle x_k \rangle$ 的定義如下：
$$x_{k+1} = -x_k^2 + x_k + \frac{1}{4}, \quad x_1 = 0.49$$試問 $x_5$ 為 ＿＿＿（六）＿＿＿。
第七題#
令 $f(x, y) = \dfrac{6x^2 - 8x + 4 + 3y^2}{2x^2 - 2x + 1 + y^2}$。試問 $f(x, y)$ 可以為哪些整數。＿＿＿（七）＿＿＿