新北市 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（16 分）已知下列聯立方程組有解，請問 $\theta$ 為何？

$$\begin{cases} -1 - \theta^2 + 2\cos(k\theta) + \theta\sin(k\theta) = 0, \\ \theta + \theta\cos(k\theta) - 2\sin(k\theta) = 0. \end{cases}$$

第二題#

（16 分）已知數列 $a_n$ 的首項 $a_1 = -2$，對於所有 $m, n \in \mathbb{N}$，皆滿足

$$a_{m+n} = \left(1 + \frac{m}{1+n}\right)a_n + \left(1 + \frac{n}{1+m}\right)a_m + mn(m+n+1).$$

試求其一般項 $a_n$。

第三題#

（17 分）設 $H$ 為三角形 $ABC$ 的垂心，圓 $O$ 為通過 $B, C, H$ 三點的圓，圓 $P$ 為通過 $C, H, A$ 三點的圓，以及圓 $Q$ 為通過 $A, B, H$ 三點的圓。試證圓 $O$、圓 $P$ 及圓 $Q$ 的直徑均相等。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試問函數 $f(x) = \dfrac{\sin 2x + \sin 3x}{\cos 2x + \cos 3x}$ 的最小週期為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

滿足 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2023}$ 的正整數數對 $(x, y)$ 共有＿＿＿（二）＿＿＿組。

（註：當 $\alpha \neq \beta$，$(\alpha, \beta)$ 與 $(\beta, \alpha)$ 視為不同的整數數對。）

第三題#

半徑為 1 公分的球面上有兩點 $A\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$、$B\left(0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，其球心位於原點。沿著球面從 $A$ 點到 $B$ 點的最短路徑長為＿＿＿（三）＿＿＿公分。

第四題#

已知點 $A$ 在單位圓 $O$ 上，線段 $BC$ 在圓 $O$ 外，$D$ 為線段 $AC$ 的中點。若 $\overline{BC} = 3$，$\overline{OB} = \overline{OC} = 4$，則 $\overline{BD}$ 的最小值為＿＿＿（四）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設函數 $f(x) = (x^2 - kx + 2k) \cdot \log(x+1)$，$x > -1$，其圖形恆通過四個象限，求 $k$ 的範圍。

第二題#

設 $xy$-平面上有一單位向量 $\vec{u} = (\cos\theta, \sin\theta)$。在平面上，我們將 $y > 0$ 的部分稱之為上半平面，$y < 0$ 的部分稱之為下半平面。現在我們考慮一個轉動向量的規則：

$$(\cos\theta, \sin\theta),\ (\cos 2\theta, \sin 2\theta),\ (\cos 4\theta, \sin 4\theta),\ \ldots$$

轉動後的紀錄如下：

轉動次數 $n$	0	1	2	3	4	5	$\cdots$
輻角	$\theta$	$2\theta$	$4\theta$	$8\theta$	$16\theta$	$32\theta$	$\cdots$
上下半平面	上	上	下	上	上	下	$\cdots$

請問向量 $\vec{u}$ 的輻角為何？以弧度 0 至 $2\pi$ 之間的數表示。