學科能力競賽 112學年度 複賽 臺北市 口試
第一題#
（15 分）設 $S$ 表示坐標平面上
$$\begin{cases} x - \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x + \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}$$所圍成的區域。設圓 $C$ 為區域 $S$ 中面積最大的圓。
- 試求圓 $C$ 的方程式。
- 設圓 $C$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，$P$ 為圓 $C$ 內部的動點，滿足 $\overline{PA}, \overline{PO}, \overline{PB}$ 為等比數列，其中 $O$ 為原點。試求向量內積 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值。
第二題#
（15 分）設 $A$ 是 $\{1, 2, 3, \ldots, 112\}$ 的子集合，滿足：若 $x \in A$，則 $2x \notin A$。試問 $A$ 最多有幾個元素？