學科能力競賽 112學年度 複賽 臺北市 筆試(二)
第一題#
函數 $3\sin(x + 20^\circ) + 5\sin(x + 80^\circ)$ 的最大可能值為 ＿＿＿（一）＿＿＿。
第二題#
設 $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3x + 15}$，其中 $-5 \leq x \leq 4$。若 $f(x)$ 的最小值為 $a$，最大值為 $b$，則數對 $(a, b) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。
第三題#
設 $\left(\sqrt{7} + \sqrt{5}\right)^6 = A + B$，其中 $A$ 為整數，且 $0 \leq B < 1$。則 $B^2 + 13534 \cdot B = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。
第四題#
已知左右開口的雙曲線 $\Gamma$ 的漸近線是 $x \pm 2y = 0$，$\Gamma$ 上動點 $P$ 到 $A(5, 0)$ 的距離之最小值為 $\sqrt{6}$。則雙曲線 $\Gamma$ 的方程式為 ＿＿＿（四）＿＿＿。
第五題#
甲、乙兩人玩擲銅板遊戲，此銅板是不公正的銅板，每次丟擲，其出現正面的機率為 $p$。甲、乙兩人輪流擲此銅板，由甲先擲，先獲得正面者獲勝。但為了補償此遊戲不利於乙，言明乙第一次丟擲時，若出現反面，則乙可再擲一次。若甲、乙兩人獲勝的機率都是 $\dfrac{1}{2}$，則 $p$ 的值為 ＿＿＿（五）＿＿＿。
第六題#
將 27 個一樣的球放入紅、白、藍色的箱子中，使得三個箱子內都有球，但球數皆不相同的方法數有 ＿＿＿（六）＿＿＿ 種。
第七題#
考慮集合 $S = \left\{\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{11}, \dfrac{1}{13}\right\}$。令 $a_k$ 表示從 $S$ 中任意選出 $k$ 個相異數的乘積之總和。則 $a_2 + 4a_4 + 16a_6 = $ ＿＿＿（七）＿＿＿。