臺北市 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $A, B, C, R, S, T$ 為圓 $O$ 上的相異點，其中 $A, R$ 在 $\overline{BC}$ 的同側，且 $\overline{AB} = \overline{AC}$，$\overline{RB} > \overline{RC}$。已知 $\overline{RS} = \overline{RT} = \sqrt{\overline{RB} \cdot \overline{RC}}$。試證：

（4 分）$\overline{RB} + \overline{RC} < 2\overline{AB}$。
（8 分）若 $\angle BRC \geq 90^\circ$，則 $\triangle RBC$ 面積大於 $\triangle RST$ 面積。

第二題#

（12 分）在坐標空間中，有一直線 $L: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{2} = z - 1$ 及兩點 $A(1, 2, 1)$, $B(0, 1, -1)$。若點 $P$ 在直線 $L$ 上移動，求 $\overline{AP} + \overline{BP}$ 的最小可能值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

函數 $3\sin(x + 20^\circ) + 5\sin(x + 80^\circ)$ 的最大可能值為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設 $f(x) = \sqrt{4 - x} + \sqrt{3x + 15}$，其中 $-5 \leq x \leq 4$。若 $f(x)$ 的最小值為 $a$，最大值為 $b$，則數對 $(a, b) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

設 $\left(\sqrt{7} + \sqrt{5}\right)^6 = A + B$，其中 $A$ 為整數，且 $0 \leq B < 1$。則 $B^2 + 13534 \cdot B = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

已知左右開口的雙曲線 $\Gamma$ 的漸近線是 $x \pm 2y = 0$，$\Gamma$ 上動點 $P$ 到 $A(5, 0)$ 的距離之最小值為 $\sqrt{6}$。則雙曲線 $\Gamma$ 的方程式為＿＿＿（四）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（15 分）設 $S$ 表示坐標平面上

$$\begin{cases} x - \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x + \sqrt{3}y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{cases}$$

所圍成的區域。設圓 $C$ 為區域 $S$ 中面積最大的圓。

試求圓 $C$ 的方程式。
設圓 $C$ 與 $x$ 軸相交於 $A, B$ 兩點，$P$ 為圓 $C$ 內部的動點，滿足 $\overline{PA}, \overline{PO}, \overline{PB}$ 為等比數列，其中 $O$ 為原點。試求向量內積 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ 的最小值。

第二題#

（15 分）設 $A$ 是 $\{1, 2, 3, \ldots, 112\}$ 的子集合，滿足：若 $x \in A$，則 $2x \notin A$。試問 $A$ 最多有幾個元素？