學科能力競賽 112學年度 複賽 臺南區 筆試(一)
第一題#
已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組
$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$試求滿足這樣條件之所有 $x + y + z$ 之值。
第二題#
設 $a, b, c$ 為正整數，使得 $\left(b - \dfrac{1}{a}\right)\left(c - \dfrac{1}{b}\right)\left(a - \dfrac{1}{c}\right)$ 為整數，試求滿足這樣條件的所有可能 $a, b, c$ 之值。
第三題#
如果 $A, B, C$ 是三角形 $ABC$ 的三個內角，試證：
$$-1 \leq \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2},$$並確定等號是否成立及何時成立。
第四題#
某運動會連續舉辦了 $n$（$n > 1$）天，總共發出 $m$ 面獎牌。第一天發出 1 面以及剩下 $m - 1$ 面獎牌的 $\dfrac{1}{13}$，第二天發出 2 面以及剩下獎牌的 $\dfrac{1}{13}$，之後每天均按此規律發出獎牌，在最後一天即發出剩下的 $n$ 面獎牌。試問此運動會共舉辦了幾天？一共發出幾面獎牌？
第五題#
設 $A$ 為一個由正整數構成的集合，其中 $A$ 中的任意兩個元素 $x$、$y$ 皆滿足 $|x - y| \geq \dfrac{xy}{31}$，試求 $A$ 至多有多少個元素？