學科能力競賽 112學年度 複賽 臺南區 筆試(二)
第一題#
設 $f(x)$ 為一個 2023 次多項式，如果
$$f(1) = 0,\ f(2) = 1,\ f(4) = 2,\ \cdots,\ f(2^{2023}) = 2023,$$則多項式 $f(x)$ 的 $x$ 項之係數為 ＿＿＿（一）＿＿＿。
第二題#
設多項式 $p(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$，其中 $a, b, c, d, e$ 為實數，且 $p(1) = 112$，$p(2) = 224$，$p(3) = 336$，$p(4) = 448$，則 $p(11) - p(-6) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。
第三題#
設 $f(x)$ 為一個 $n$ 次多項式，對於 $k = 0, 1, 2, \ldots, n$，都滿足 $f(k) = \dfrac{k}{k+1}$，則 $f(n+1) = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。
第四題#
已知三角形 $ABC$ 之三邊長為連續正整數，如果最大角的度數是最小角度數的 2 倍，則此 $\triangle ABC$ 最大邊長為 ＿＿＿（四）＿＿＿。
第五題#
設 $x, y, z$ 皆為實數，其中 $x > y > z$，如果 $(x-y)(y-z)(x-z) = 17$，則 $\dfrac{1}{x-y} + \dfrac{1}{y-z} + \dfrac{1}{x-z}$ 之最小值為 ＿＿＿（五）＿＿＿。
第六題#
已知實數 $a, b, x, y$ 滿足方程
$$\begin{cases} ax + by = 3 \\ ax^3 + by^3 = 5 \\ ax^5 + by^5 = 11 \\ ax^7 + by^7 = 29 \end{cases}$$則 $ax^{11} + by^{11}$ 之值為 ＿＿＿（六）＿＿＿。