臺南區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $x, y, z$ 皆為實數，且滿足聯立方程組

$$\begin{cases} x^2y + y^2z + z^2x = -1 \\ xy^2 + yz^2 + zx^2 = 5 \\ xyz = -2 \end{cases}$$

試求滿足這樣條件之所有 $x + y + z$ 之值。

第二題#

設 $a, b, c$ 為正整數，使得 $\left(b - \dfrac{1}{a}\right)\left(c - \dfrac{1}{b}\right)\left(a - \dfrac{1}{c}\right)$ 為整數，試求滿足這樣條件的所有可能 $a, b, c$ 之值。

第三題#

如果 $A, B, C$ 是三角形 $ABC$ 的三個內角，試證：

$$-1 \leq \sin 3A + \sin 3B + \sin 3C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2},$$

並確定等號是否成立及何時成立。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $f(x)$ 為一個 2023 次多項式，如果

$$f(1) = 0,\ f(2) = 1,\ f(4) = 2,\ \cdots,\ f(2^{2023}) = 2023,$$

則多項式 $f(x)$ 的 $x$ 項之係數為＿＿＿（一）＿＿＿。

第二題#

設多項式 $p(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$，其中 $a, b, c, d, e$ 為實數，且 $p(1) = 112$，$p(2) = 224$，$p(3) = 336$，$p(4) = 448$，則 $p(11) - p(-6) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

設 $f(x)$ 為一個 $n$ 次多項式，對於 $k = 0, 1, 2, \ldots, n$，都滿足 $f(k) = \dfrac{k}{k+1}$，則 $f(n+1) = $ ＿＿＿（三）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求出滿足 $a^2 + b^2 = n!$ 的所有解，其中 $a, b, n$ 為正整數，滿足 $a \leq b$ 且 $n < 14$。

第二題#

試求所有正整數 $x, y$，使得 $x^2 + 3655 = 2^y$。