高屏區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（12 分）已知 $m < 2023$ 為一個四位數，如果正整數 $n < m$，使得 $m - n$ 最多有三個正因數，且 $mn$ 為完全平方數，試求滿足這樣條件的所有可能 $m$ 值。

第二題#

（12 分）如下圖，$\triangle ABC$ 中，$AD$ 與 $BF$ 是 $\angle A$ 與 $\angle B$ 的內角角平分線，$E$ 為內心，$\triangle ABC$ 邊長分別以 $a, b, c$ 表示，即 $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$。證明：$\dfrac{AE}{ED} = \dfrac{b+c}{a}$。

第三題#

（12 分）試證：在任意 $3^{2023}$ 個正整數中，必存在 $2^{2023}$ 個數的和是 $2^{2023}$ 的倍數。

第四題#

（13 分）對於自然數 $n$，令 $f(n)$ 表示 $n$ 的最大奇因數。例如：$f(5) = 5$，$f(6) = 3$。求 $f(1) + f(2) + \cdots + f(2023)$ 的值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（4 分）等腰 $\triangle ABC$ 中，如果 $\angle ABC$ 的角平分線交 $\overline{AC}$ 邊於 $D$ 點，且 $\overline{BC} = \overline{BD} + \overline{AD}$，試求 $\angle A$。

第二題#

（4 分）設 $A$ 是十進位制數 $5555^{5554}$ 的各位數字之總和，$B$ 是 $A$ 的各位數字之總和，$C$ 是 $B$ 的各位數字之總和，$A$、$B$、$C$ 都是十進位制數字。求 $C$ 之值。

第三題#

（4 分）如下圖，$\triangle ABC$ 中，$\overline{AB} = 33$，$\overline{AC} = 21$，$\overline{BC}$ 邊長為正整數，$\overline{AD} = \overline{DE} = \overline{EC}$ 也是正整數，求 $\overline{BC}$ 邊長。

第四題#

（4 分）設 $a - b = 20 + \sqrt{23}$，且 $b - c = 20 - \sqrt{23}$，則 $a^2 + b^2 + c^2 - ca - ab - bc$ 的值為何？

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

解聯立方程組

$$\begin{cases} y = x^3(3 - 2x) \\ z = y^3(3 - 2y) \\ x = z^3(3 - 2z) \end{cases}$$

第二題#

從 $\{-2023, -2022, -2021, \cdots, -2, -1, 1, 2, \cdots, 2021, 2022, 2023\}$ 中取出四個不同的數，其中兩個為正數，另兩個為負數，且其和為零，問有幾種取法？