學科能力競賽 112學年度 複賽 高雄市 筆試(一)
第一題#
（12 分）求函數 $f(x) = [1 - x] + [x - 1] + \left[\dfrac{2x}{3}\right] + [2x]$，$112 \leq x \leq 2023$ 可能的函數值的個數。（符號 $[a]$ 表示不大於實數 $a$ 的最大整數）
第二題#
（12 分）設 $x, y$ 均為正整數，求方程式 $15^x - 7 \cdot 2^y - 1 = 0$ 的所有解？
第三題#
（12 分）在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC} = a$，$\overline{CA} = b$，若 $\angle ABC = 20^\circ$ 且 $\angle CAB = 40^\circ$，求 $\dfrac{a^3 - b^3 - 5ab^2}{a^3 - b^3 + 6ab^2}$ 之值。
第四題#
（13 分）已知 $f(x)$ 是定義域和值域都是實數值的函數，$f(0) = 0$, $f(1) = 1$，且滿足對實數 $x \neq 0$ 且 $x \neq 1$，恆有 $f(x) + f\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) = x + 1$，求 $f\left(\sqrt{3} - 1\right) + f\left(\sqrt{3} + 1\right)$ 之值。