學科能力競賽 112學年度 複賽 高雄市 筆試(二)
第一題#
設 $a, b, c$ 均為實數，且滿足 $a + 3b + 2c = 0$ 且 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 22$，若 $b^2 - 8b + 17$ 的最小值為 $n$ 而最大值為 $m$，求 $n + m$ 之值為 ＿＿＿＿。
第二題#
設 $f(x) = x^{2022} + x^{2021} + \cdots + x + 1$，則 $f(x^{2023})$ 除以 $f(x)$ 的餘式為 ＿＿＿＿。
第三題#
設 $n$ 為正整數，若 $n^2$ 的十位數字為 0，求 $n^2$ 所有可能不同的個位數字的和為 ＿＿＿＿。
第四題#
設 $a$ 為正整數且 $a^4 - 96a^2 + 2500$ 為質數，則 $4a - 2 = $ ＿＿＿＿。
第五題#
不等式 $\log_2(2^x + 32) < \log_2 6 + 1 + \dfrac{x}{2}$ 的解為 $a < x < b$，求 $a + b = $ ＿＿＿＿。
第六題#
假設 $R, r, P$ 分別代表一個三角形的外接圓半徑、內接圓半徑和周長。求 $\dfrac{Rr}{P^2}$ 的最大值為 ＿＿＿＿。
第七題#
從 $1, 3, 5, \ldots, 2023$ 這些奇數中，最多可取幾個數使得任意三個數的和均為 21 的倍數？＿＿＿＿