高雄市 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（12 分）求函數 $f(x) = [1 - x] + [x - 1] + \left[\dfrac{2x}{3}\right] + [2x]$，$112 \leq x \leq 2023$ 可能的函數值的個數。（符號 $[a]$ 表示不大於實數 $a$ 的最大整數）

第二題#

（12 分）設 $x, y$ 均為正整數，求方程式 $15^x - 7 \cdot 2^y - 1 = 0$ 的所有解？

第三題#

（12 分）在 $\triangle ABC$ 中，$\overline{BC} = a$，$\overline{CA} = b$，若 $\angle ABC = 20^\circ$ 且 $\angle CAB = 40^\circ$，求 $\dfrac{a^3 - b^3 - 5ab^2}{a^3 - b^3 + 6ab^2}$ 之值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 均為實數，且滿足 $a + 3b + 2c = 0$ 且 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 22$，若 $b^2 - 8b + 17$ 的最小值為 $n$ 而最大值為 $m$，求 $n + m$ 之值為＿＿＿＿。

第二題#

設 $f(x) = x^{2022} + x^{2021} + \cdots + x + 1$，則 $f(x^{2023})$ 除以 $f(x)$ 的餘式為＿＿＿＿。

第三題#

設 $n$ 為正整數，若 $n^2$ 的十位數字為 0，求 $n^2$ 所有可能不同的個位數字的和為＿＿＿＿。

第四題#

設 $a$ 為正整數且 $a^4 - 96a^2 + 2500$ 為質數，則 $4a - 2 = $ ＿＿＿＿。