學科能力競賽 113學年度 決賽 獨立研究試題(一)

第一題#

已知方程式 $x^3+3x^2-1=0$ 有三實根 $a,b,c$，其中 $a>b>c$。試求 $a^2b+b^2c+c^2a$ 的值。

第二題#

設 $f$ 是由非負實數對應至非負實數的函數，且滿足下列條件：

(i) 對任意的非負實數 $x$ 與 $y$，$f(x+y)=f(xf(y))f(y)$ 皆成立；

(ii) $f(1)=0$；

(iii) 若 $0 \leq x < 1$，則 $f(x) \neq 0$。

試求所有滿足條件的函數 $f$。