學科能力競賽 113學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
已知實數 $c$ 與 $k$ 滿足 $c(c+2k) \neq 0$ 且 $c(c+k) \geq 0$。
(1) 證明：存在實係數多項式 $P(x)$ 使得 $P(0) = k$，且對所有的實數 $x$，都滿足
$$(P(x+c)+c)(P(x-c)+c) = (P(x))^2. \cdots\cdots (\star)$$(2) 當 $(c,k) = (1, 2024)$ 時，求所有滿足條件 $(\star)$ 的實係數多項式 $P(x)$。
第二題#
證明：存在一個長寬都是大於 2024 的整數的矩形，不能被 $4\times4$ 與 $5\times5$ 的拼片拼滿。(假設兩種拼片皆無限量供應)。
第三題#
設 $\triangle ABC$ 為平面上的銳角三角形，點 $D$ 為 $\overline{AC}$ 的中點，$P$ 為 $\overline{BD}$ 上一點，使得 $\triangle BAP$ 的外接圓 $\Gamma$ 與 $\overline{AD}$ 再交於另一點 $M$，且 $\overline{DC}$ 上有一點 $N$，滿足 $\overline{PM} = \overline{PN}$。令圓 $\Omega$ 為 $\triangle NAP$ 的外接圓，且 $\Omega$ 在點 $A$ 的切線與 $\overline{BC}$ 的交點為 $Q$（$Q \neq B$），而 $Q$ 點恰落在圓 $\Gamma$ 上。
- 試證：$\overline{BA} = \overline{BC}$。
- 設直線 $AB$ 與圓 $\Omega$ 再交於點 $X$（$X \neq A$），直線 $NP$ 與圓 $\Gamma$ 再交於點 $Y$（$Y \neq P$），且直線 $AQ$ 與 $\overline{BD}$ 交於點 $Z$。試證：直線 $CZ$ 與三角形 $PXY$ 的外接圓相切。