學科能力競賽 113學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
設 $n$ 為大於 1 的正整數，$a_1, a_2, \ldots, a_n$ 為 $n$ 個不全為 0 的實數，滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$，且對任意滿足 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 的 $n$ 個整數 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 而言，都有 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n$ 為一整數。求 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$ 的最小值。（以 $n$ 表示）
第二題#
三角形 $ABC$ 的三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，分別有 $D$、$E$、$F$ 三點，使得
$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} = \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = \frac{1}{2}.$$已知 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CF}$ 交於 $A^{\prime}$，$\overline{BE}$ 和 $\overline{AD}$ 交於 $B^{\prime}$，$\overline{CF}$ 和 $\overline{BE}$ 交於 $C^{\prime}$，且 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \triangle ABC$。證明：$\triangle ABC$ 為正三角形。
第三題#
令 $S_n$ 為前 $n$ 個正整數的總和。當正整數 $m, n$ 滿足 $m+n \geq 1234$ 時，求函數 $f(m,n) = |2S_n - S_m - 124|$ 的最小值，以及可得到最小值的一組 $(m,n)$。