決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知實數 $c$ 與 $k$ 滿足 $c(c+2k) \neq 0$ 且 $c(c+k) \geq 0$。

(1) 證明：存在實係數多項式 $P(x)$ 使得 $P(0) = k$，且對所有的實數 $x$，都滿足

$$(P(x+c)+c)(P(x-c)+c) = (P(x))^2. \cdots\cdots (\star)$$

(2) 當 $(c,k) = (1, 2024)$ 時，求所有滿足條件 $(\star)$ 的實係數多項式 $P(x)$。

第二題#

證明：存在一個長寬都是大於 2024 的整數的矩形，不能被 $4\times4$ 與 $5\times5$ 的拼片拼滿。(假設兩種拼片皆無限量供應)。

第三題#

設 $\triangle ABC$ 為平面上的銳角三角形，點 $D$ 為 $\overline{AC}$ 的中點，$P$ 為 $\overline{BD}$ 上一點，使得 $\triangle BAP$ 的外接圓 $\Gamma$ 與 $\overline{AD}$ 再交於另一點 $M$，且 $\overline{DC}$ 上有一點 $N$，滿足 $\overline{PM} = \overline{PN}$。令圓 $\Omega$ 為 $\triangle NAP$ 的外接圓，且 $\Omega$ 在點 $A$ 的切線與 $\overline{BC}$ 的交點為 $Q$（$Q \neq B$），而 $Q$ 點恰落在圓 $\Gamma$ 上。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於 1 的正整數，$a_1, a_2, \ldots, a_n$ 為 $n$ 個不全為 0 的實數，滿足 $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 0$，且對任意滿足 $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$ 的 $n$ 個整數 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 而言，都有 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n$ 為一整數。求 $a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2$ 的最小值。（以 $n$ 表示）

第二題#

三角形 $ABC$ 的三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，分別有 $D$、$E$、$F$ 三點，使得

$$\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} = \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} = \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}} = \frac{1}{2}.$$

已知 $\overline{AD}$ 和 $\overline{CF}$ 交於 $A^{\prime}$，$\overline{BE}$ 和 $\overline{AD}$ 交於 $B^{\prime}$，$\overline{CF}$ 和 $\overline{BE}$ 交於 $C^{\prime}$，且 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \sim \triangle ABC$。證明：$\triangle ABC$ 為正三角形。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設集合 $S$ 同時滿足以下三個條件：

(i) $S$ 中每個元素 $a$ 都為正整數，且 $1 \leq a \leq 100$；

(ii) 對於任意 $a, b \in S$（$a \neq b$），都存在 $c \in S$（$c \neq a, b$）使得 $\gcd(a+b, c) = 1$；

(iii) 對於任意 $a, b \in S$（$a \neq b$），都存在 $d \in S$（$d \neq a, b$）使得 $\gcd(a+b, d) > 1$。

求 $S$ 的元素個數的最大值。

第二題#

設集合 $T$ 中的每個元素均為 $3668^{50}$ 的正因數，且 $T$ 中任意兩個數都不具有因數倍數的關係，求 $T$ 中元素個數的最大值。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知方程式 $x^3+3x^2-1=0$ 有三實根 $a,b,c$，其中 $a>b>c$。試求 $a^2b+b^2c+c^2a$ 的值。

第二題#

設 $f$ 是由非負實數對應至非負實數的函數，且滿足下列條件：

(i) 對任意的非負實數 $x$ 與 $y$，$f(x+y)=f(xf(y))f(y)$ 皆成立；

(ii) $f(1)=0$；

(iii) 若 $0 \leq x < 1$，則 $f(x) \neq 0$。

試求所有滿足條件的函數 $f$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

是否存在一個鈍角三角形 $ABC$，我們可以在其內部找到一點 $P$，使得 $\tan\angle PAB, \tan\angle PBC, \tan\angle PCA$ 三數均不小於 $\frac{1}{2}$？請證明你的結論。

第二題#

設 $x,y,z$ 為兩兩互質的正整數，且滿足 $x^2+3y^2=z^2$ 和 $x+y+z=2024$，求 $(x,y,z)$。