學科能力競賽 113學年度 複賽 北一區 筆試(一)
113 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。
第一題#
（8 分）證明以下兩個不等式對所有自然數 $n$ 都成立。
- $\dfrac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+2}} < \dfrac{\sqrt{2n+2}}{\sqrt{2n+3}}$。
- $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$。
第二題#
（12 分）已知 $a, b, c$ 是正實數且滿足 $\dfrac{a^2}{1+a^2} + \dfrac{b^2}{1+b^2} + \dfrac{c^2}{1+c^2} = 1$，證明 $abc \leq \dfrac{\sqrt{2}}{4}$。
第三題#
（12 分）試完成下面兩個問題。
- 已知 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 落在區間 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 內，求證
- 已知 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$，證明 $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \sin\dfrac{1}{k^2\pi} \leq \dfrac{\pi}{6}$。
第四題#
（14 分）在線段 $\overline{AC}$ 上取點 $B$ 異於點 $A$ 與點 $C$，以線段 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為直徑在 $\overline{AC}$ 的同一側做半圓 $S_1$、$S_2$、$S_3$，過點 $B$ 做 $\overline{AC}$ 的垂直線交 $S_3$ 於點 $D$。$S_1$ 與 $S_2$ 的公切線分別切這兩個半圓於點 $F$ 與 $E$。
- 證明：直線 $\overleftrightarrow{EF}$ 平行於 $S_3$ 過點 $D$ 的切線。（提示：過 $\overline{AB}$ 中點做 $\overline{EF}$ 的平行線）
- 證明：四邊形 $BFDE$ 是一個矩形。
