北一區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

113 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。

第一題#

（8 分）證明以下兩個不等式對所有自然數 $n$ 都成立。

$\dfrac{\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+2}} < \dfrac{\sqrt{2n+2}}{\sqrt{2n+3}}$。
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$。

第二題#

（12 分）已知 $a, b, c$ 是正實數且滿足 $\dfrac{a^2}{1+a^2} + \dfrac{b^2}{1+b^2} + \dfrac{c^2}{1+c^2} = 1$，證明 $abc \leq \dfrac{\sqrt{2}}{4}$。

第三題#

（12 分）試完成下面兩個問題。

已知 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 落在區間 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 內，求證

$$\sin(a_1 + a_2 + \cdots + a_k) \leq \sin a_1 + \sin a_2 + \cdots + \sin a_k。$$

已知 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$，證明 $\dfrac{1}{2} \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \sin\dfrac{1}{k^2\pi} \leq \dfrac{\pi}{6}$。

第四題#

（14 分）在線段 $\overline{AC}$ 上取點 $B$ 異於點 $A$ 與點 $C$，以線段 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 為直徑在 $\overline{AC}$ 的同一側做半圓 $S_1$、$S_2$、$S_3$，過點 $B$ 做 $\overline{AC}$ 的垂直線交 $S_3$ 於點 $D$。$S_1$ 與 $S_2$ 的公切線分別切這兩個半圓於點 $F$ 與 $E$。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

113 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（二）。本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分 24 分，考試時間 1 小時。

第一題#

若數列 $\langle x_n \rangle$ 的一般項為 $x_n = \dfrac{113^n}{n!}$，則此數列的最大項為＿＿＿（一）＿＿＿（以 $x_n$ 表示）。

第二題#

若函數 $f_n(x) = f(f(\cdots f(x) \cdots))$，即 $n$ 個函數 $f$ 的合成，且 $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，則 $f_n(x) = $ ＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

試求 $\cos(2x) + 3\sin x$ 的最大值為＿＿＿（三）＿＿＿。

第四題#

一樓梯有 12 個階梯，每一步可以向上跨 1 階或 2 階，試問上樓梯的走法有＿＿＿（四）＿＿＿種。

第五題#

若函數 $f(x) = x^2 + \dfrac{64}{x^2 + 4}$ 在 $x = a$ 時有最小值 $b$，則 $b - a^2 = $ ＿＿＿（五）＿＿＿。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

數列 $\langle x_n \rangle$ 滿足 $x_1 = \dfrac{1}{2}$，$x_{k+1} = x_k^2 + x_k$，求 $\dfrac{1}{x_1 + 1} + \dfrac{1}{x_2 + 1} + \cdots + \dfrac{1}{x_{2024} + 1}$ 的整數部份。

第二題#

求方程式 $\sin x = \log_{113} x$ 的實根個數。