學科能力競賽 113學年度 複賽 臺北市 筆試(一)
第一題#
設圓 $A$ 分別內切圓 $B$ 和圓 $C$ 於點 $G$ 和點 $H$。在圓 $B$ 和圓 $C$ 上各取一點 $J,K$ 使得直線 $JK$ 為圓 $B$ 和圓 $C$ 的公切線。令點 $P$ 為直線 $JK$ 與 $BC$ 的交點，並自 $P$ 作一直線與圓 $A$ 交於 $X,Y$ 兩點。
- （6 分）試證 $G,H,P$ 三點共線。
- （6 分）試證 $J,K,X,Y$ 四點共圓。
第二題#
（4 分）設 $\alpha,\beta,\gamma$ 為實數，且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$。試證：
$$\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = 1.$$（8 分）已知實係數方程式 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 有三個正根。若三根為 $\sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma$（$\alpha,\beta,\gamma>0$ 且 $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}$）的充分必要條件為一個關係式 $f(a,b,c)=0$，試求 $f(a,b,c)$。
第三題#
- （4 分）試問：以正九邊形的頂點為頂點的三角形中，有多少個是銳角三角形？
- （8 分）設 $A_1,A_2,\ldots,A_{13}$ 是某圓周上的 13 個點。試問以這些點為頂點的三角形中，最多會有多少個是銳角三角形？
第四題#
（13 分）設 $n \geq 2$ 為正整數，且 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 均為正實數。試證：
$$\frac{a_1^2}{a_1^2+a_2a_3} + \frac{a_2^2}{a_2^2+a_3a_4} + \cdots + \frac{a_{n-2}^2}{a_{n-2}^2+a_{n-1}a_n} + \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-1}^2+a_na_1} + \frac{a_n^2}{a_n^2+a_1a_2} \leq n-1.$$並說明等號何時成立。