學科能力競賽 114學年度 決賽 獨立研究試題(一)

第一題#

設 $a, b, c, d$ 均為正整數，$c < d$，且滿足 $a = b + c + d$，以及 $ab = cd$。若 $b$ 可使得 $(a, c, d)$ 的解共有 782 組，求 $ab$ 的最小值。

第二題#

證明：從閉區間 $[0, 44]$ 裡任取 2025 個相異實數 $a_1, \ldots, a_{2025}$，必存在兩數 $a_i$, $a_j$ 滿足 $(i + j + 43)|a_i - a_j| < 45$。