學科能力競賽 114學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
已知 $f(x)$ 是一個領導係數為 1 的四次實係數多項式，$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ 是五個相異整數。證明：必存在一個 $b_i$，使得 $|f(b_i)| \geq \dfrac{3}{2}$。
第二題#
給定圓上五個點依序為 $A, B, C, D, E$，使得直線 $BE$ 與直線 $CD$ 平行。令直線 $AC$ 與直線 $BE$ 的交點為 $F$，直線 $AD$ 與直線 $BE$ 的交點為 $G$。令點 $F$ 在直線 $AB$ 的垂足為 $P$，點 $G$ 在直線 $AE$ 的垂足為 $Q$，直線 $FQ$ 與直線 $GP$ 的交點為 $R$。證明：
- 三角形 $AGP$ 與三角形 $AFQ$ 面積相等。
- 直線 $AR$ 與直線 $PQ$ 垂直。