學科能力競賽 114學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $p$, $q$ 為兩正整數，$x = \dfrac{\sqrt{q^2 + \frac{4q}{p}} - q}{2}$，證明：若 $\dfrac{1}{x}$ 的小數部分為 $y$，則 $\dfrac{1}{y}$ 的小數部分為 $x$。 （註：一個數字 $a$ 的小數部分定義為 $a - [a]$，其中 $[a]$ 表示不大於 $a$ 的最大整數。）
第二題#
直線 $L$ 上依序有 4 個點 $A$, $B$, $C$, $D$，設 $\overline{AB} = a$，$\overline{BC} = b$，$\overline{CD} = c$。證明：
- 若直線 $L$ 外存在一點 $P$ 使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$，則 $b^2 < ac$。
- 若 $\dfrac{2}{b} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}$，則直線 $L$ 外存在一點 $P$，使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$。
第三題#
某國家有 500 個城市與 2025 條雙向道路，每條道路連接兩個城市。若城市 $A$ 與 $B$ 之間有一條道路連接，則稱 $A$ 鄰接 $B$；若存在另一城市 $C$，使得 $A$ 鄰接 $C$ 且 $C$ 鄰接 $B$，則稱 $A$ 準鄰接 $B$。要注意 $A$ 可以既鄰接 $B$，也同時準鄰接 $B$。已知任何兩個城市之間最多只有一條道路，且不存在四個城市 $A, B, C, D$ 使得 $A$ 鄰接 $B$、$B$ 鄰接 $C$、$C$ 鄰接 $D$、$D$ 鄰接 $A$。證明：至少存在一個城市，它的準鄰接城市數至少為 58。