學科能力競賽 114學年度 決賽 筆試(二)

第一題#

設 $n$ 為大於或等於 3 的正整數。將編號 $1, 2, \ldots, n$ 等 $n$ 顆球分成三堆的方法總數記為 $f(n)$，其中編號 1、2 的兩顆球在不同堆的方法數記為 $g(n)$。

1. 求 $f(n)$。（以 $n$ 的函數表示）
2. 證明：$\dfrac{g(n)}{f(n)} > \dfrac{2}{3}$。

第二題#

求所有正整數 $n$，使得 $114^n - 2025$ 有一些質因數 $p_1 < p_2 < \cdots < p_j$，滿足 $p_1 p_2 \cdots p_j - 1$ 可被 3 整除，且 $\sqrt{\dfrac{114^n - 2025}{p_1 p_2 \cdots p_j}}$ 為整數。

第三題#

給定一圓 $O$，$P$ 是圓外一點，作兩條切線 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 使得 $A$、$B$ 為切點；在 $\overline{PB}$ 的延長線上取一點 $C$，使得 $B$ 介於 $P$ 與 $C$ 之間；設 $\overline{AC}$ 與圓 $O$ 相交於另一點 $D$，作 $D$ 對於直線 $\overline{PC}$ 的對稱點 $E$；在 $\overline{PO}$ 的延長線上取一點 $F$，使得 $\overline{FC} \perp \overline{PC}$。證明：$A$、$E$、$C$、$F$ 四點共圓。