決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $p$, $q$ 為兩正整數，$x = \dfrac{\sqrt{q^2 + \frac{4q}{p}} - q}{2}$，證明：若 $\dfrac{1}{x}$ 的小數部分為 $y$，則 $\dfrac{1}{y}$ 的小數部分為 $x$。（註：一個數字 $a$ 的小數部分定義為 $a - [a]$，其中 $[a]$ 表示不大於 $a$ 的最大整數。）

第二題#

直線 $L$ 上依序有 4 個點 $A$, $B$, $C$, $D$，設 $\overline{AB} = a$，$\overline{BC} = b$，$\overline{CD} = c$。證明：

若直線 $L$ 外存在一點 $P$ 使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$，則 $b^2 < ac$。
若 $\dfrac{2}{b} > \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}$，則直線 $L$ 外存在一點 $P$，使得 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD$。

第三題#

某國家有 500 個城市與 2025 條雙向道路，每條道路連接兩個城市。若城市 $A$ 與 $B$ 之間有一條道路連接，則稱 $A$ 鄰接 $B$；若存在另一城市 $C$，使得 $A$ 鄰接 $C$ 且 $C$ 鄰接 $B$，則稱 $A$ 準鄰接 $B$。要注意 $A$ 可以既鄰接 $B$，也同時準鄰接 $B$。已知任何兩個城市之間最多只有一條道路，且不存在四個城市 $A, B, C, D$ 使得 $A$ 鄰接 $B$、$B$ 鄰接 $C$、$C$ 鄰接 $D$、$D$ 鄰接 $A$。證明：至少存在一個城市，它的準鄰接城市數至少為 58。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為大於或等於 3 的正整數。將編號 $1, 2, \ldots, n$ 等 $n$ 顆球分成三堆的方法總數記為 $f(n)$，其中編號 1、2 的兩顆球在不同堆的方法數記為 $g(n)$。

求 $f(n)$。（以 $n$ 的函數表示）
證明：$\dfrac{g(n)}{f(n)} > \dfrac{2}{3}$。

第二題#

求所有正整數 $n$，使得 $114^n - 2025$ 有一些質因數 $p_1 < p_2 < \cdots < p_j$，滿足 $p_1 p_2 \cdots p_j - 1$ 可被 3 整除，且 $\sqrt{\dfrac{114^n - 2025}{p_1 p_2 \cdots p_j}}$ 為整數。

第三題#

給定一圓 $O$，$P$ 是圓外一點，作兩條切線 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 使得 $A$、$B$ 為切點；在 $\overline{PB}$ 的延長線上取一點 $C$，使得 $B$ 介於 $P$ 與 $C$ 之間；設 $\overline{AC}$ 與圓 $O$ 相交於另一點 $D$，作 $D$ 對於直線 $\overline{PC}$ 的對稱點 $E$；在 $\overline{PO}$ 的延長線上取一點 $F$，使得 $\overline{FC} \perp \overline{PC}$。證明：$A$、$E$、$C$、$F$ 四點共圓。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $n$ 為正整數，計算 $\displaystyle\sum_{j=0}^{n} 2^{n-j} C_j^{n+j}$。

第二題#

擲一顆公正的六面體骰子，設擲 $n$ 次點數總和是 5 的倍數之機率為 $p(n)$。已知 $p(n) = a + b \times p(n-5)$，求實數 $a$, $b$ 之值。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c, d$ 均為正整數，$c < d$，且滿足 $a = b + c + d$，以及 $ab = cd$。若 $b$ 可使得 $(a, c, d)$ 的解共有 782 組，求 $ab$ 的最小值。

第二題#

證明：從閉區間 $[0, 44]$ 裡任取 2025 個相異實數 $a_1, \ldots, a_{2025}$，必存在兩數 $a_i$, $a_j$ 滿足 $(i + j + 43)|a_i - a_j| < 45$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

已知 $f(x)$ 是一個領導係數為 1 的四次實係數多項式，$b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ 是五個相異整數。證明：必存在一個 $b_i$，使得 $|f(b_i)| \geq \dfrac{3}{2}$。

第二題#

給定圓上五個點依序為 $A, B, C, D, E$，使得直線 $BE$ 與直線 $CD$ 平行。令直線 $AC$ 與直線 $BE$ 的交點為 $F$，直線 $AD$ 與直線 $BE$ 的交點為 $G$。令點 $F$ 在直線 $AB$ 的垂足為 $P$，點 $G$ 在直線 $AE$ 的垂足為 $Q$，直線 $FQ$ 與直線 $GP$ 的交點為 $R$。證明：

三角形 $AGP$ 與三角形 $AFQ$ 面積相等。
直線 $AR$ 與直線 $PQ$ 垂直。