學科能力競賽 114學年度 複賽 北一區 筆試(一)
114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。
第一題#
（10 分）平面上，有一定圓 $O$ 及圓外一定點 $A$，且 $P$ 為圓上一動點。今以 $\overline{AP}$ 為邊作一正三角形 $APB$（按順時針順序），試證：這些 $B$ 點共圓。
第二題#
（12 分）設 $f(x) = \log\!\left(1 + 5^x + \dfrac{(25)^x}{2}\right) - \log 3$。試證：對任何實數 $x$，不等式 $2f(x) < f(2x)$ 恆成立。
第三題#
（12 分）已知直線 $5x + 12y + a = 0$（$a > 0$）與圓 $x^2 + y^2 = 1$ 相切，令 $\triangle ABC$ 的邊長分別為 $5, 12, a$ 且其內切圓為 $\Gamma$，$P$ 為 $\Gamma$ 上的動點，求 $\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2$ 的最大值與最小值。
第四題#
（12 分）設 $f(x) = \sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(a - x)^2 + 25}$，其中 $a > 0$，$x$ 為實數。試問：當 $x$ 為何值時，$f(x)$ 有最小值，且最小值為何（以符號 $a$ 表示）？