學科能力競賽 114學年度 複賽 北一區 筆試(二)
114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（二）。本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分 24 分，考試時間 1 小時。
第一題#
正四面體的頂點和各邊中點共有 10 個點，在這 10 個點中任取 4 個不共面的點，共有 ＿＿＿（一）＿＿＿ 種取法。
第二題#
在空間中，若 $ABCD$ 為邊長 $2$ 的正方形，$P$、$Q$ 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{AD}$ 的中點，$\overline{RC}$ 垂直正方形 $ABCD$ 所在的平面，且 $\overline{RC} = 1$，則 $C$ 點到平面 $PQR$ 的距離為 ＿＿＿（二）＿＿＿。
第三題#
當一個正整數，從最左邊第二位開始，每個數字都比其左邊的數字大，且最左邊數字與最右邊數字的差為 $2$ 的倍數，稱此數為「同升數」，例如 $36789$ 是一個五位同升數，$3659$ 不是一個四位同升數。
所有四位同升數共有 ＿＿＿（三）＿＿＿ 個。
第四題#
若數列 $\langle a_n \rangle$ 為公差 $d \neq 0$ 的等差數列，且 $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots, a_{k_m}$ 為等比數列，其中 $k_1 = 1$，$k_2 = 4$，$k_3 = 13$，則 $k_1 + k_2 + \cdots + k_m = $ ＿＿＿（四）＿＿＿（以符號 $m$ 表示）。
第五題#
若 $a > 0$，且不等式 $\left| 1 - \dfrac{ax + a^2}{\sqrt{x}} \right| \leq 1$ 在 $\dfrac{1}{4} \leq x \leq 1$ 時恆成立，則 $a$ 的取值範圍為 ＿＿＿（五）＿＿＿。
第六題#
求方程式 $\sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{6x - 16} + 7x - 19 = 0$ 的解 $x = $ ＿＿＿（六）＿＿＿。
第七題#
在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$、$F$ 分別在 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 上，且 $\overrightarrow{DC} = 3\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{EC} = 4\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{AF}$。若 $G$ 為 $\triangle DEF$ 的重心，且 $\overrightarrow{AG} = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}$，則數對 $(\alpha, \beta) = $ ＿＿＿（七）＿＿＿。
第八題#
若實數 $a$ 滿足 $\left( 7 \cdot \sqrt[3]{20} - a \right)^{\frac{1}{6}} = \sqrt[3]{\dfrac{5}{3}} - \sqrt[3]{\dfrac{2}{3}}$，則 $a = $ ＿＿＿（八）＿＿＿。