筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（一）。本試卷共四題計算證明題，滿分 46 分，考試時間 2 小時。

第一題#

（10 分）平面上，有一定圓 $O$ 及圓外一定點 $A$，且 $P$ 為圓上一動點。今以 $\overline{AP}$ 為邊作一正三角形 $APB$（按順時針順序），試證：這些 $B$ 點共圓。

第二題#

（12 分）設 $f(x) = \log\!\left(1 + 5^x + \dfrac{(25)^x}{2}\right) - \log 3$。試證：對任何實數 $x$，不等式 $2f(x) < f(2x)$ 恆成立。

第三題#

（12 分）已知直線 $5x + 12y + a = 0$（$a > 0$）與圓 $x^2 + y^2 = 1$ 相切，令 $\triangle ABC$ 的邊長分別為 $5, 12, a$ 且其內切圓為 $\Gamma$，$P$ 為 $\Gamma$ 上的動點，求 $\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2$ 的最大值與最小值。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

114 學年度北一區（花蓮高中）普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽數學科筆試（二）。本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分 24 分，考試時間 1 小時。

第一題#

正四面體的頂點和各邊中點共有 10 個點，在這 10 個點中任取 4 個不共面的點，共有＿＿＿（一）＿＿＿種取法。

第二題#

在空間中，若 $ABCD$ 為邊長 $2$ 的正方形，$P$、$Q$ 分別為 $\overline{AB}$、$\overline{AD}$ 的中點，$\overline{RC}$ 垂直正方形 $ABCD$ 所在的平面，且 $\overline{RC} = 1$，則 $C$ 點到平面 $PQR$ 的距離為＿＿＿（二）＿＿＿。

第三題#

當一個正整數，從最左邊第二位開始，每個數字都比其左邊的數字大，且最左邊數字與最右邊數字的差為 $2$ 的倍數，稱此數為「同升數」，例如 $36789$ 是一個五位同升數，$3659$ 不是一個四位同升數。

所有四位同升數共有＿＿＿（三）＿＿＿個。

第四題#

若數列 $\langle a_n \rangle$ 為公差 $d \neq 0$ 的等差數列，且 $a_{k_1}, a_{k_2}, \cdots, a_{k_m}$ 為等比數列，其中 $k_1 = 1$，$k_2 = 4$，$k_3 = 13$，則 $k_1 + k_2 + \cdots + k_m = $ ＿＿＿（四）＿＿＿（以符號 $m$ 表示）。

北一區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

第一題#

第二題#

第三題#

筆試(二)

第一題#

第二題#

第三題#

第四題#