學科能力競賽 88學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
設 $a, b, c$ 為多項式 $x^3 - 8x^2 + 8x - 1$ 的三個根，對於任一非負整數 $n$，表 $S_n = a^n + b^n + c^n$。試求 $S_{2000}$ 的個位數。
第二題#
有 $n$ 位學生參加一項數學競賽，這項競賽試題共分成兩大類：$A$ 類與 $B$ 類，每一大類各有 $k$ 小題：$A_1, A_2, \cdots, A_k$ 及 $B_1, B_2, \cdots, B_k$。已知每一位學生解出 $A$ 類的題數與解出 $B$ 類的題數之差都是奇數；而對每一個 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$，解出試題 $A_i$ 的學生數與解出試題 $B_i$ 的學生數之差都是偶數。試證：$n$ 是一個偶數。