學科能力競賽 88學年度 決賽 獨立研究試題(四)
第一題#
若一個直角三角形的三邊長恰好是方程式 $x^3 - 30x^2 + 281x - a = 0$ 的三個根，其中 $a$ 為某一實數。試求此直角三角形的面積為何？
第二題#
設
$$a_1 \geq a_2 \geq b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq b_4 \geq a_3 \geq a_4 > 0$$且 $a_1 a_2 a_3 a_4 = b_1 b_2 b_3 b_4$。試證：
$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4.$$且等號成立的充要條件為 $a_1 = a_2 = b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = a_3 = a_4$。