學科能力競賽 88學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
設 $ABCD$ 為一個凸四邊形，兩條對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 相交於 $O$ 點，且 $\overline{AO} = \overline{OC}$。若 $P$ 點為線段 $\overline{AO}$ 的任一內點，延長 $\overline{BP}$ 交 $\overline{AD}$ 於 $E$ 點，延長 $\overline{DP}$ 交 $\overline{AB}$ 於 $F$ 點。其次，延長 $\overline{FO}$ 交 $\overline{CD}$ 於 $H$ 點，延長 $\overline{EO}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $G$ 點。試證：$\overline{FG} \parallel \overline{EH}$。
第二題#
設 $a, b$ 為正整數，且 $a$ 的所有正因數之積等於 $b$ 的所有正因數之積，試證：$a = b$。
第三題#
設 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 為一個 $n$ 次整係數多項式，$k$ 為正整數且 $0 < k < n$。若存在一個質數 $p$ 使得 $p \nmid a_k$，且 $p \mid a_{k-1}, \cdots, p \mid a_1, p \mid a_0$，但 $p^2 \nmid a_0$。試證：存在一個整係數多項式 $g(x)$ 滿足下列條件：
- $g(x)$ 的次數大於或等於 $k$，
- $g(x)$ 為 $f(x)$ 的因式，
- $g(x)$ 不可能分解成兩個次數都大於或等於 1 的整係數多項式的乘積。
（註：原 PDF 中 $p \nmid a_k$ 與 $p^2 \nmid a_0$ 的斜線未印出，依題意應為 $\nmid$。）