學科能力競賽 88學年度決賽筆試(二)

第一題#

如下圖，$S_1$ 與 $S_2$ 是直角三角形 $ABC$ 的內接正方形，已知 $S_1$ 的面積為 361 平方公分，且兩股 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BC}$ 長的和為 380 公分，試求 $S_2$ 的面積為多少平方公分？

第二題#

設 $c$ 為非零的整數，定義數列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 為 $a_1 = 2$ 且

$$a_{n+1} = c a_n + \sqrt{(c^2 - 1)(a_n^2 - 4)},\quad n = 1, 2, 3, \cdots.$$

試證：$a_{2000}$ 是整數。

第三題#

設數列 $\{a_n\}$ 滿足 $\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} \leq a_{n+1}$，$n$ 是任意正整數。試證

$$\frac{a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n+1}}{n+1} \leq \frac{a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}}{n}.$$

Reference#