決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $ABCD$ 為一個凸四邊形，兩條對角線 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BD}$ 相交於 $O$ 點，且 $\overline{AO} = \overline{OC}$。若 $P$ 點為線段 $\overline{AO}$ 的任一內點，延長 $\overline{BP}$ 交 $\overline{AD}$ 於 $E$ 點，延長 $\overline{DP}$ 交 $\overline{AB}$ 於 $F$ 點。其次，延長 $\overline{FO}$ 交 $\overline{CD}$ 於 $H$ 點，延長 $\overline{EO}$ 交 $\overline{BC}$ 於 $G$ 點。試證：$\overline{FG} \parallel \overline{EH}$。

第二題#

設 $a, b$ 為正整數，且 $a$ 的所有正因數之積等於 $b$ 的所有正因數之積，試證：$a = b$。

第三題#

設 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 為一個 $n$ 次整係數多項式，$k$ 為正整數且 $0 < k < n$。若存在一個質數 $p$ 使得 $p \nmid a_k$，且 $p \mid a_{k-1}, \cdots, p \mid a_1, p \mid a_0$，但 $p^2 \nmid a_0$。試證：存在一個整係數多項式 $g(x)$ 滿足下列條件：

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如下圖，$S_1$ 與 $S_2$ 是直角三角形 $ABC$ 的內接正方形，已知 $S_1$ 的面積為 361 平方公分，且兩股 $\overline{AC}$ 與 $\overline{BC}$ 長的和為 380 公分，試求 $S_2$ 的面積為多少平方公分？

第二題#

設 $c$ 為非零的整數，定義數列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 為 $a_1 = 2$ 且

$$a_{n+1} = c a_n + \sqrt{(c^2 - 1)(a_n^2 - 4)},\quad n = 1, 2, 3, \cdots.$$

試證：$a_{2000}$ 是整數。

第三題#

設數列 $\{a_n\}$ 滿足 $\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2} \leq a_{n+1}$，$n$ 是任意正整數。試證

$$\frac{a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n+1}}{n+1} \leq \frac{a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n}}{n}.$$

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

在一次聯誼活動期間，每一位參加者都贈送其他的每一位參加者一件禮物。已知在活動中場休息時，主辦單位發現：

至少有一半的參加者都已恰好獲得應得禮物數的二分之一，
至少有三分之一的參加者都已恰好獲得應得禮物數的三分之一，
至少有七分之一的參加者都已恰好獲得應得禮物數的七分之一。

試問最少有多少人參加這次活動？

第二題#

給定一個銳角三角形 $ABC$，

試用尺規作圖作出一個長寬之比為三比一的內接矩形（其中兩個頂點在 $\overline{BC}$ 上），
試問共有多少個這樣的矩形？

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求所有的正整數 $n$ 使得 $n^3 - 8n^2 + 22n - 21$ 為完全平方數。

第二題#

試求所有的整數 $x, y$，使得 $x > 1$，$y > 1$ 且 $(x-1)(y-1) \mid xy - 1$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $a, b, c$ 為多項式 $x^3 - 8x^2 + 8x - 1$ 的三個根，對於任一非負整數 $n$，表 $S_n = a^n + b^n + c^n$。試求 $S_{2000}$ 的個位數。

第二題#

有 $n$ 位學生參加一項數學競賽，這項競賽試題共分成兩大類：$A$ 類與 $B$ 類，每一大類各有 $k$ 小題：$A_1, A_2, \cdots, A_k$ 及 $B_1, B_2, \cdots, B_k$。已知每一位學生解出 $A$ 類的題數與解出 $B$ 類的題數之差都是奇數；而對每一個 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$，解出試題 $A_i$ 的學生數與解出試題 $B_i$ 的學生數之差都是偶數。試證：$n$ 是一個偶數。

獨立研究試題(三)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

是否存在 $n$（$n \geq 2$）個相異正整數，其平方的倒數和為整數？

第二題#

設 $a, b, c$ 為正數，試證：

$$\frac{1}{a(1+b)} + \frac{1}{b(1+c)} + \frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}.$$

獨立研究試題(四)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

若一個直角三角形的三邊長恰好是方程式 $x^3 - 30x^2 + 281x - a = 0$ 的三個根，其中 $a$ 為某一實數。試求此直角三角形的面積為何？

第二題#

設

$$a_1 \geq a_2 \geq b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq b_4 \geq a_3 \geq a_4 > 0$$

且 $a_1 a_2 a_3 a_4 = b_1 b_2 b_3 b_4$。試證：

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4.$$

且等號成立的充要條件為 $a_1 = a_2 = b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = a_3 = a_4$。