學科能力競賽 92學年度 決賽 獨立研究試題(一)
第一題#
試求滿足
$$(x+93)P(x-93) + (x-93)P(x+93) = 2xP(x)$$的實係數多項式 $P(x)$。
第二題#
設 $x, y, z, w$ 都是正實數。試證：
$$(1+x)(1+y)(1+z)(1+w) \geq \left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)\left(1+\sqrt[3]{yzw}\right)\left(1+\sqrt[3]{zwx}\right)\left(1+\sqrt[3]{wxy}\right).$$第三題#
在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是直角，其內切圓與 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 分別交於點 $D$、$E$、$F$。直線 $EF$ 與直線 $BC$ 交於點 $G$；過 $E$ 引 $\overline{EF}$ 的垂線交 $\overline{BC}$ 於點 $H$。設 $\triangle GHE$ 的外接圓與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$。試證：$\overline{GK} = \overline{GD}$。