學科能力競賽 92學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
設多項式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$，其中 $a \geq 0$，$b \geq 0$，且 $f(x) = 0$ 的三根都是實數。試證：$f(2) \geq 27$。
第二題#
試求所有的整數 $m$, $n$，滿足方程式 $3n^3 - m^2 + 18n - 6m - 30 = 0$。
第三題#
每一個由正整數所形成的集合都有一個「交錯和」，它的定義如下：「將此集合中的數，由大到小排列，交錯的加、減得到一個結果，稱為此集合的交錯和」。例如：集合 $\{1, 2, 4, 6, 9\}$ 的交錯和為 $9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$；集合 $\{6\}$ 的交錯和為 6；空集合的交錯和視為 0。試求 $\{1, 2, \cdots, 2004\}$ 所有子集合交錯和的總和。