學科能力競賽 92學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
（35 分）設正實數數列 $t_1, t_2, \cdots$ 是一個公比為 10 的等比數列。試求所有可能的正整數 $n$ 及所有的 $n$ 次多項式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$，滿足：最高次項係數 $a_n$ 是整數，且
$$\left| f(\log_{10} t_k) \right| = 93,\quad \forall\, k = 1, 2, \cdots, n+1.$$第二題#
（35 分）在某一個 $\triangle ABC$ 中，過頂點 $B$ 作一直線與 $\angle C$ 的平分線垂直，垂足為 $D$；過頂點 $C$ 作一直線與 $\angle B$ 的平分線垂直，垂足為 $E$。設點 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的外部，點 $E$ 在 $\triangle ABC$ 的內部且 $\triangle ABC$ 的內切圓在邊 $\overline{AB}$、$\overline{CA}$ 上的切點分別為點 $P$、$Q$。試證：直線 $DE$ 通過 $P$、$Q$ 兩點。
第三題#
（35 分）正八邊形 $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ 的內部可被它的對角線分割成 80 個區域。試求所有可能的正整數 $n$，使得我們可將其中 $n$ 個區域塗色後，滿足：每一個 $\triangle A_iA_jA_k$ 的內部都恰有一個塗色的區域。