學科能力競賽 92學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
（35 分）在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 及 $F$ 分別在三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 及 $\overline{AB}$ 上，且使得 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$ 及 $\overline{CF}$ 三線段交於一點。過 $F$ 作平行於直線 $ED$ 的直線交 $\overline{AD}$ 於 $K$，並交 $\overline{CB}$ 的延長線於 $L$。試證：$\overline{FK} = \overline{FL}$。
第二題#
（35 分）設正實數 $a, b$ 滿足：$a^3 + b^3 + 3ab = 1$。試求 $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 + \left(b + \dfrac{1}{b}\right)^3$ 的最小值。
第三題#
（35 分）試求所有的正整數 $n$，使得 $n^5 + 2n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1$ 為一完全平方數。