決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（35 分）設正實數數列 $t_1, t_2, \cdots$ 是一個公比為 10 的等比數列。試求所有可能的正整數 $n$ 及所有的 $n$ 次多項式 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$，滿足：最高次項係數 $a_n$ 是整數，且

$$\left| f(\log_{10} t_k) \right| = 93,\quad \forall\, k = 1, 2, \cdots, n+1.$$

第二題#

（35 分）在某一個 $\triangle ABC$ 中，過頂點 $B$ 作一直線與 $\angle C$ 的平分線垂直，垂足為 $D$；過頂點 $C$ 作一直線與 $\angle B$ 的平分線垂直，垂足為 $E$。設點 $D$ 在 $\triangle ABC$ 的外部，點 $E$ 在 $\triangle ABC$ 的內部且 $\triangle ABC$ 的內切圓在邊 $\overline{AB}$、$\overline{CA}$ 上的切點分別為點 $P$、$Q$。試證：直線 $DE$ 通過 $P$、$Q$ 兩點。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

（35 分）在 $\triangle ABC$ 中，$D$、$E$ 及 $F$ 分別在三邊 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$ 及 $\overline{AB}$ 上，且使得 $\overline{AD}$、$\overline{BE}$ 及 $\overline{CF}$ 三線段交於一點。過 $F$ 作平行於直線 $ED$ 的直線交 $\overline{AD}$ 於 $K$，並交 $\overline{CB}$ 的延長線於 $L$。試證：$\overline{FK} = \overline{FL}$。

第二題#

（35 分）設正實數 $a, b$ 滿足：$a^3 + b^3 + 3ab = 1$。試求 $\left(a + \dfrac{1}{a}\right)^3 + \left(b + \dfrac{1}{b}\right)^3$ 的最小值。

第三題#

（35 分）試求所有的正整數 $n$，使得 $n^5 + 2n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 2n + 1$ 為一完全平方數。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

如圖所示，圓中的三弦 $\overline{AA'}$、$\overline{BB'}$、$\overline{CC'}$ 兩兩相交，其交點分別為 $P$、$Q$、$R$。已知 $\overline{AP} = \overline{BQ} = \overline{CR}$ 且 $\overline{A'R} = \overline{B'P} = \overline{C'Q}$。試證：$\triangle ABC$ 為正三角形。

第二題#

用 $1, 2, 3, 4, 5$ 排出 120 個各位數均相異的五位數，將它們由小到大排列如下：

12345,	12354,	12435,	$\cdots\cdots$	54321
第 1 個	第 2 個	第 3 個		第 120 個

試問 34521 是排在第幾個？第 100 個數為何？

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求滿足

$$(x+93)P(x-93) + (x-93)P(x+93) = 2xP(x)$$

的實係數多項式 $P(x)$。

第二題#

設 $x, y, z, w$ 都是正實數。試證：

$$(1+x)(1+y)(1+z)(1+w) \geq \left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)\left(1+\sqrt[3]{yzw}\right)\left(1+\sqrt[3]{zwx}\right)\left(1+\sqrt[3]{wxy}\right).$$

第三題#

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B$ 是直角，其內切圓與 $\overline{BC}$、$\overline{CA}$、$\overline{AB}$ 分別交於點 $D$、$E$、$F$。直線 $EF$ 與直線 $BC$ 交於點 $G$；過 $E$ 引 $\overline{EF}$ 的垂線交 $\overline{BC}$ 於點 $H$。設 $\triangle GHE$ 的外接圓與 $\overline{AB}$ 交於點 $K$。試證：$\overline{GK} = \overline{GD}$。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設多項式 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$，其中 $a \geq 0$，$b \geq 0$，且 $f(x) = 0$ 的三根都是實數。試證：$f(2) \geq 27$。

第二題#

試求所有的整數 $m$, $n$，滿足方程式 $3n^3 - m^2 + 18n - 6m - 30 = 0$。

第三題#

每一個由正整數所形成的集合都有一個「交錯和」，它的定義如下：「將此集合中的數，由大到小排列，交錯的加、減得到一個結果，稱為此集合的交錯和」。例如：集合 $\{1, 2, 4, 6, 9\}$ 的交錯和為 $9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$；集合 $\{6\}$ 的交錯和為 6；空集合的交錯和視為 0。試求 $\{1, 2, \cdots, 2004\}$ 所有子集合交錯和的總和。