學科能力競賽 93學年度 複賽 北二區 筆試(一)
第一題#
設 $a, b, c$ 為某三角形之三邊長，試證：
$$(a^2 + b^2 + c^2)^2 > 2(a^4 + b^4 + c^4)$$第二題#
在 $\triangle ABC$ 中，點 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $\overline{AD} = 2\overline{BD}$，又點 $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中點。若 $\angle ACD = \angle BEC$，試證：$\triangle ABC$ 是直角三角形。
第三題#
設 $n$ 為自然數，試證：在任意 $3^n$ 個正整數中，必存在 $2^n$ 個數的和是 $2^n$ 的倍數。