學科能力競賽 94學年度 複賽 臺中區 筆試(一)
第一題#
證明 $\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10} > 1 + \sqrt{3} + \sqrt{15}$，但不允許將這些根號數化成小數後再比較大小。
第二題#
設 $k$ 為大於 $3$ 的正偶數，以下為 $x, y$ 的聯立不等式：
$$y \geq \frac{2x}{3k-2}, \quad y \leq 2x + 2k - 2,$$$$y \leq 2kx, \quad y \leq -2x + 6k - 2$$試問滿足以上聯立不等式的整數解 $(x, y)$ 共有幾組？
第三題#
設 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 為一整係數多項式（$a, b, c$ 為整數）且 $P(x) = 0$ 的三個根分別為 $u, v, w$。若已知 $a \neq 1$ 且 $w = uv$，試證 $w$ 必為整數。
第四題#
考慮以三角形為底的直立三角柱，假設其中的兩側面與底部的面積總和恆等於一常數 $L$。證明：這類三角柱達到最大體積時，這兩側面與底部三者的面積相等。
第五題#
下圖是一個由正三角形所構成的無限棋盤，棋子由棋盤上任一交叉點往相鄰的交叉點移動稱為「走一步」，現在規定一個棋子的走法如下：一次走兩步，第一步可任選一個方向（有六個方向可供選擇），第二步的方向必須是第一步的方向逆時針轉 $60^\circ$。另外，我們定義圖中的兩個向量 $\vec{a} = [1, 0]$，$\vec{b} = \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$。證明：若棋子能由 $P$ 點經若干次走到 $Q$ 點，則 $\overrightarrow{PQ} = m\vec{a} + n\vec{b}$，其中 $m, n$ 是整數且 $m - n$ 是 $3$ 的倍數。