學科能力競賽 94學年度 複賽 臺中區 筆試(二)
第一題#
若兩正整數 $a$ 和 $b$ 的最大公因數為 $10$，則 $a^3$ 和 $b^4$ 的最大公因數可能為何？
第二題#
設 $N = 2^1 + 2^4 + 2^9 + 2^{16} + \cdots + 2^{81} + 2^{100}$。若 $N$ 以十進位表示出來是 $a$ 位數且首位數字與個位數字分別為 $b$ 與 $c$，求 $a + b + c$ 之值。（已知 $\log 2 = 0.3010$）
第三題#
設二次曲線 $\Gamma: 9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0$ 與直線 $L: 2x - 5y - 10 = 0$，若要在 $\Gamma$ 上找一點 $P$ 使得 $P$ 到 $L$ 的距離為最短，則 $P$ 的坐標為何？
第四題#
有 $6$ 個外表相同的袋子，其中有 $4$ 個袋子各裝有 $4$ 黑球及 $1$ 白球，稱為 A 袋；其餘 $2$ 個袋子各裝有 $4$ 黑球及 $6$ 白球，稱為 B 袋。今隨機選一個袋子並從中隨機取出兩球，若此兩球為一黑一白，試問此兩球來自 A 袋的機率有多少？
第五題#
一張紙 $ABCD$ 是邊長為 $1$ 的正方形，以 $A$ 為圓心，$\overline{AB}$ 為半徑，作一個四分之一圓弧 $BD$。設 $E$ 與 $F$ 分別在 $\overline{AB}$ 與 $\overline{AD}$ 上，將這張紙對 $\overline{EF}$ 對摺恰使得 $A$ 落在圓弧 $BD$ 上，求 $\triangle AEF$ 面積的最大值。
第六題#
對於任一正整數 $n$，$\langle n \rangle$ 表示最接近 $\sqrt{n}$ 的正整數。設 $k$ 為正整數，令 $A_k = \{n \in \mathbb{Z}^+ \mid \langle n \rangle = k\}$，求 $\displaystyle\sum_{n \in A_k} n$ 之值（以 $k$ 表示出來）。