筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

證明 $\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{10} > 1 + \sqrt{3} + \sqrt{15}$，但不允許將這些根號數化成小數後再比較大小。

設 $k$ 為大於 $3$ 的正偶數，以下為 $x, y$ 的聯立不等式：

$$y \geq \frac{2x}{3k-2}, \quad y \leq 2x + 2k - 2,$$$$y \leq 2kx, \quad y \leq -2x + 6k - 2$$

試問滿足以上聯立不等式的整數解 $(x, y)$ 共有幾組？

設 $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ 為一整係數多項式（$a, b, c$ 為整數）且 $P(x) = 0$ 的三個根分別為 $u, v, w$。若已知 $a \neq 1$ 且 $w = uv$，試證 $w$ 必為整數。

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

若兩正整數 $a$ 和 $b$ 的最大公因數為 $10$，則 $a^3$ 和 $b^4$ 的最大公因數可能為何？

設 $N = 2^1 + 2^4 + 2^9 + 2^{16} + \cdots + 2^{81} + 2^{100}$。若 $N$ 以十進位表示出來是 $a$ 位數且首位數字與個位數字分別為 $b$ 與 $c$，求 $a + b + c$ 之值。（已知 $\log 2 = 0.3010$）

設二次曲線 $\Gamma: 9x^2 + 16y^2 - 18x - 64y - 71 = 0$ 與直線 $L: 2x - 5y - 10 = 0$，若要在 $\Gamma$ 上找一點 $P$ 使得 $P$ 到 $L$ 的距離為最短，則 $P$ 的坐標為何？