學科能力競賽 95學年度 決賽 獨立研究試題(一)
第一題#
通過曲線上的一點且與該點切線互相垂直的直線，稱為該曲線的法線。考慮拋物線 $C: y = x^2$，試求所有在 $y$ 軸上且有三條 $C$ 的法線通過的點之 $y$ 坐標。
第二題#
找出滿足下列關係的所有正整數 $n, k_1, k_2, \cdots, k_n$，
- $k_1 + \cdots + k_n = 5n - 4$，
- $\dfrac{1}{k_1} + \cdots + \dfrac{1}{k_n} = 1$。
並證明你已得到所有正整數解。
第三題#
試求多項式不等式 $x^6 + x^4 + 3 > 2x^3 + x^2 + 2x$ 的所有實數解。