學科能力競賽 95學年度 決賽 獨立研究試題(二)
第一題#
試證：對於所有正整數 $n \geq 2$，不等式
$$\sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac{3}{2}}(k^3+1) - \log_{\frac{3}{2}}(k^3-1) \right] < 1$$恆成立。
第二題#
設正方形 $ABCD$ 之邊長為 $a$，試分別求此正方形所有內接正三角形中面積最大者和面積最小者的面積，並證明你的答案。
第三題#
求最小正整數 $k$ 使得存在一函數 $f: \mathbb{N} \to \{1, 2, \cdots, k\}$（$\mathbb{N}$ 為所有自然數所成的集合）滿足以下條件：
當 $|i - j|$ 為 $3, 8, 11$ 時恆有 $f(i) \neq f(j)$。