學科能力競賽 95學年度 決賽 筆試(一)
第一題#
試求所有使得
$$\sqrt{\frac{2006}{x+y}}+\sqrt{\frac{2006}{x+z}}+\sqrt{\frac{2006}{y+z}}$$為整數的正整數組 $(x, y, z)$。
第二題#
設 $p(x)$ 為整係數多項式。給定整數 $a, b$，令
$$a_1 = p(a),\ a_2 = p(a_1),\ \cdots,\ a_{2006} = p(a_{2005})\ ;$$$$b_1 = p(b),\ b_2 = p(b_1),\ \cdots,\ b_{2006} = p(b_{2005})\ .$$已知 $a_{2006} = a$，$b_{2006} = b$，但 $a_{1003} \neq a$，$b_{1003} \neq b$。
試證明：若 $a < b$，則 $a_{1003} > b_{1003}$。
第三題#
設 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，分別在 $\overline{BC}$、$\overline{AC}$、$\overline{AB}$ 三邊上各取 $D$、$E$、$F$ 三點。試證明存在唯一的一組 $D$、$E$、$F$ 使得 $\triangle AEF \sim \triangle ABC$、$\triangle BDF \sim \triangle BAC$、$\triangle CDE \sim \triangle CAB$，並找出這樣的 $D$、$E$、$F$ 三點的位置。