學科能力競賽 95學年度 決賽 筆試(二)
第一題#
設 $\triangle ABC$ 中 $\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，圓 $O$ 為 $\triangle ABC$ 的外接圓，$P$ 為劣弧 $\widehat{BC}$ 上異於 $B$、$C$ 的動點，連接 $AP$ 線段與三角形的 $BC$ 邊交於點 $Q$。試求 $\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{QP}}$ 的最小值。
第二題#
從 $1, 2, 3, 4, \cdots, 2n-1, 2n$ 這 $2n$ 個正整數中，隨意選取 $n$ 個數，並將他們從大至小排列為 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，即
$$a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > a_n\ .$$再將剩下的 $n$ 個數從小至大排列為 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，即
$$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n\ .$$試求 $|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n|$ 之所有可能的值。
第三題#
設 $a, b, c$ 都是正實數，試證：
$$\frac{a}{\sqrt{a^2+9bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+9ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+9ab}} \geq \frac{3}{\sqrt{10}}\ .$$