決賽 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試求所有使得

$$\sqrt{\frac{2006}{x+y}}+\sqrt{\frac{2006}{x+z}}+\sqrt{\frac{2006}{y+z}}$$

為整數的正整數組 $(x, y, z)$。

第二題#

設 $p(x)$ 為整係數多項式。給定整數 $a, b$，令

$$a_1 = p(a),\ a_2 = p(a_1),\ \cdots,\ a_{2006} = p(a_{2005})\ ;$$$$b_1 = p(b),\ b_2 = p(b_1),\ \cdots,\ b_{2006} = p(b_{2005})\ .$$

已知 $a_{2006} = a$，$b_{2006} = b$，但 $a_{1003} \neq a$，$b_{1003} \neq b$。

試證明：若 $a < b$，則 $a_{1003} > b_{1003}$。

第三題#

設 $\triangle ABC$ 為銳角三角形，分別在 $\overline{BC}$、$\overline{AC}$、$\overline{AB}$ 三邊上各取 $D$、$E$、$F$ 三點。試證明存在唯一的一組 $D$、$E$、$F$ 使得 $\triangle AEF \sim \triangle ABC$、$\triangle BDF \sim \triangle BAC$、$\triangle CDE \sim \triangle CAB$，並找出這樣的 $D$、$E$、$F$ 三點的位置。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $\triangle ABC$ 中 $\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，圓 $O$ 為 $\triangle ABC$ 的外接圓，$P$ 為劣弧 $\widehat{BC}$ 上異於 $B$、$C$ 的動點，連接 $AP$ 線段與三角形的 $BC$ 邊交於點 $Q$。試求 $\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{QP}}$ 的最小值。

第二題#

從 $1, 2, 3, 4, \cdots, 2n-1, 2n$ 這 $2n$ 個正整數中，隨意選取 $n$ 個數，並將他們從大至小排列為 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，即

$$a_1 > a_2 > a_3 > \cdots > a_n\ .$$

再將剩下的 $n$ 個數從小至大排列為 $b_1, b_2, \cdots, b_n$，即

$$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n\ .$$

試求 $|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + \cdots + |a_n - b_n|$ 之所有可能的值。

口試

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

給定 $\angle A = 19^\circ$，試利用尺規作圖作出 $\angle B = 1^\circ$。

第二題#

數字 $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, \ldots$ 等是由質數所組成的數列。為了瞭解質數的分佈，數學家經常用函數 $\pi(n)$ 來表示「小於或等於 $n$ 的質數之個數」。例如，不超過 $6$ 的質數有 $2, 3, 5$ 共三個，即 $\pi(6) = 3$；又大家都知道不超過 $100$ 的質數有 $25$ 個，即

$$\pi(100) = 25$$

從這兩個值得知

$$\frac{6}{\pi(6)} = 2, \qquad \frac{100}{\pi(100)} = 4$$

已知 $\pi(1008) = 168$，因此

$$\frac{1008}{\pi(1008)} = \frac{1008}{168} = 6$$

證明：會有一個介於 $100$ 與 $1008$ 之間的正整數 $n$，使得

$$\frac{n}{\pi(n)} = 5$$

成立。

獨立研究試題(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

通過曲線上的一點且與該點切線互相垂直的直線，稱為該曲線的法線。考慮拋物線 $C: y = x^2$，試求所有在 $y$ 軸上且有三條 $C$ 的法線通過的點之 $y$ 坐標。

第二題#

找出滿足下列關係的所有正整數 $n, k_1, k_2, \cdots, k_n$，

$k_1 + \cdots + k_n = 5n - 4$，
$\dfrac{1}{k_1} + \cdots + \dfrac{1}{k_n} = 1$。

並證明你已得到所有正整數解。

第三題#

試求多項式不等式 $x^6 + x^4 + 3 > 2x^3 + x^2 + 2x$ 的所有實數解。

獨立研究試題(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

試證：對於所有正整數 $n \geq 2$，不等式

$$\sum_{k=2}^{n} \left[ \log_{\frac{3}{2}}(k^3+1) - \log_{\frac{3}{2}}(k^3-1) \right] < 1$$

恆成立。

第二題#

設正方形 $ABCD$ 之邊長為 $a$，試分別求此正方形所有內接正三角形中面積最大者和面積最小者的面積，並證明你的答案。

第三題#

求最小正整數 $k$ 使得存在一函數 $f: \mathbb{N} \to \{1, 2, \cdots, k\}$（$\mathbb{N}$ 為所有自然數所成的集合）滿足以下條件：

當 $|i - j|$ 為 $3, 8, 11$ 時恆有 $f(i) \neq f(j)$。