學科能力競賽 95學年度 複賽 臺中區 筆試(一)
第一題#
一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點 $A$ 之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點（每個臨近的頂點被選中的機率皆為 $1/3$），並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼在 $60$ 分鐘之後，它的位置恰好在一開始起步之頂點 $A$ 的機率是多少呢？
第二題#
設 $x \neq \pm 1,\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。解下列有理方程式
$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{2x}{1-x^2} + \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}{1 - \dfrac{2x}{1-x^2} \cdot \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}.$$第三題#
假設三角形三頂點為 $A_1, A_2, A_3$，其對邊分別為 $S_1, S_2, S_3$ 且對邊長度分別為 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$。設 $P$ 為三角形內部任意一點，$P$ 到 $S_1, S_2, S_3$ 的距離分別為 $h_1, h_2, h_3$。
求證：
$$\frac{\ell_1}{h_1} + \frac{\ell_2}{h_2} + \frac{\ell_3}{h_3} \geq 6\sqrt{3}.$$第四題#
設 $p$ 為奇質數。證明：
$$2^p + 1 - \sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j}\binom{p+j}{j}$$是 $p^2$ 的倍數。