學科能力競賽 95學年度 複賽 臺中區 筆試(二)
第一題#
設 $A$ 代表球心在原點、半徑為 $1$ 的球面。令 $Q$ 的座標為 $(1, 2, 0)$，$N$ 的座標為 $(0, 0, 1)$，$S$ 的座標為 $(0, 0, -1)$。設 $\overline{NQ}$ 線段交球面 $A$ 於 $P$ 點，求 $\overline{PS}$ 線段與 $xy$ 平面的交點座標。
第二題#
設函數 $f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 滿足下列三個條件：
- $f(x, x) = x$
- $f(x, y) = f(y, x)$
- $f(x, y) \cdot (x + y) = f(x, x+y) \cdot y$
求 $f(16, 54)$ 之值。
第三題#
下圖是網球比賽的賽程，總共有 $16$ 位選手參加。競賽採用單淘汰制，一開始主辦單位將 $16$ 位選手隨機地分配到 A～P 的位置。如果今日有甲和乙兩位雙胞胎參加比賽，請問他們在整個賽程當中，彼此可能會遭遇對打的機率是多少？（假設這 $16$ 位選手的實力相當，兩兩配對比賽時，獲勝或者失敗的機率都是 $1/2$。）
第四題#
定義一數列 $\{x_n\}$ 為 $x_1 = \dfrac{1}{5}$ 且 $x_{k+1} - x_k = x_k^2$，$k \geq 1$。求
$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \cdots + \frac{1}{x_{2006}+1}$$的整數部份。
第五題#
設 $X$ 代表一個含有 $2006$ 個元素的集合且已知函數 $f : X \to X$ 滿足 $f^{101}(a) = a$，對所有 $a \in X$ 都成立。令 $N$ 表示集合 $\{a \in X \mid f(a) = a\}$ 的元素個數且已知 $N \leq 100$，試求 $N$ 的值。