筆試(一)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

一隻螞蟻正保持在一個正四面體的某一個頂點 $A$ 之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點（每個臨近的頂點被選中的機率皆為 $1/3$），並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點之間走動，那麼在 $60$ 分鐘之後，它的位置恰好在一開始起步之頂點 $A$ 的機率是多少呢？

第二題#

設 $x \neq \pm 1,\ \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。解下列有理方程式

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\dfrac{2x}{1-x^2} + \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}{1 - \dfrac{2x}{1-x^2} \cdot \dfrac{3x - x^3}{1 - 3x^2}}.$$

第三題#

假設三角形三頂點為 $A_1, A_2, A_3$，其對邊分別為 $S_1, S_2, S_3$ 且對邊長度分別為 $\ell_1, \ell_2, \ell_3$。設 $P$ 為三角形內部任意一點，$P$ 到 $S_1, S_2, S_3$ 的距離分別為 $h_1, h_2, h_3$。

求證：

$$\frac{\ell_1}{h_1} + \frac{\ell_2}{h_2} + \frac{\ell_3}{h_3} \geq 6\sqrt{3}.$$

第四題#

設 $p$ 為奇質數。證明：

$$2^p + 1 - \sum_{j=0}^{p} \binom{p}{j}\binom{p+j}{j}$$

是 $p^2$ 的倍數。

筆試(二)

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

第一題#

設 $A$ 代表球心在原點、半徑為 $1$ 的球面。令 $Q$ 的座標為 $(1, 2, 0)$，$N$ 的座標為 $(0, 0, 1)$，$S$ 的座標為 $(0, 0, -1)$。設 $\overline{NQ}$ 線段交球面 $A$ 於 $P$ 點，求 $\overline{PS}$ 線段與 $xy$ 平面的交點座標。

第二題#

設函數 $f : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 滿足下列三個條件：

$f(x, x) = x$
$f(x, y) = f(y, x)$
$f(x, y) \cdot (x + y) = f(x, x+y) \cdot y$

求 $f(16, 54)$ 之值。

第三題#

下圖是網球比賽的賽程，總共有 $16$ 位選手參加。競賽採用單淘汰制，一開始主辦單位將 $16$ 位選手隨機地分配到 A～P 的位置。如果今日有甲和乙兩位雙胞胎參加比賽，請問他們在整個賽程當中，彼此可能會遭遇對打的機率是多少？（假設這 $16$ 位選手的實力相當，兩兩配對比賽時，獲勝或者失敗的機率都是 $1/2$。）

臺中區 on 數學競賽歷屆試題

筆試(一)

第一題#

第二題#

第三題#

第四題#

筆試(二)

第一題#

第二題#

第三題#