學科能力競賽 97學年度 複賽 北一區 筆試(一)
第一題#
（16 分）如圖，將邊長為 $a$ 的正方形剪去圖中的陰影部分，再沿圖中的虛線摺成一個正三角錐，其底面是邊長為 $b$ 的正三角形，則 (1) $a$ 與 $b$ 的關係式為何？(2) 正三角錐的高為何？
第二題#
（16 分）設數列 $\langle a_n \rangle$ 的每一項都是正數，$S_n$ 為前 $n$ 項的和，且 $S_n^2 = a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3$，$n=1,2,\ldots$，請導出此數列的一般項 $a_n$，並證明之。
第三題#
（17 分）已知 $(2x-1)^8 - (ax+b)^8 = (x^2+cx+d)^4$ 為恆等式，其中 $a>0$。試求實數 $a,b,c,d$ 之值。